Den Anwalt zahlst du vorerst nicht selbst.
Der holt sich die Kohle schon selbst bei der Versicherung (wenn er was kann.)
Will der Anwalt bei dem Sachverhalt als Leistung was von dir sehen, dann würd ich mir schleunigst (!!) einen anderen Suchen.
Das Läuft beim Anwalt ab wie wenn du dein Auto nach einem Unfall zum freundlichen bringst und den Sachschaden abtrittst.
Im Endeffekt trittst du mit dem Anwalt ja ebenfalls nur den unmittelbaren Schaden in Form von Verwaltung und Rechtsberatung etc. ab.
Das heisst du zahlst primär erstmal nichts und das wird mit den Verischerungen geregelt. Je nach Sachlage und Schuldzuteilung der Versicherungen bezahlt das dann entweder die gegnerische Versicherung
(Das gilt für Situationen wo du nicht "eindeutig" Unfallverursacher bist).
Wenn du einen richtigen Anwalt hast, dann sollte der das so lenken das du an das Geld kommst ohne vor Gericht zu gehen.
Das sollte mit dem Material allemal möglich sein. Wird halt etwas dauern/aufwändig sein wenn der Gegner den Schaden nicht gemeldet hat und das erst "ermittelt" werden muss.
(Ob das jetzt Fahrerflucht war oder er es einfach nicht gemerkt hat sei mal dahingestellt. Aber das macht für dich keinen Unterschied.)