Mal ganz langsam, das hat nichts mit Garantie und noch weniger mit Kulanz zu tun.
In deinem Fall greift die Sachmängelhaftung.
Wichtig, Sachmängelansprüche gelten nur wenn der Mangel bereits bei der Übergabe vorlag. Tritt so ein Mangel innerhalb der ersten 6 Monate nach der Übergabe auf wird in der Regel vom Gesetz vermutet das der Mangel schon bei der Übergabe vorlag. Ab dem 7. Monat (bis zum 12.) musst du als Käufer beweisen das der Mangel schon bei der Übergabe vorgelegen hat.
In deinem Fall ist die Sache nach deutschem Recht ganz klar geregelt. Du hast Recht auf kostenlose Nachbesserung. Selbst wenn du keine Garantie abgeschlossen hättest. Dies steht dir in dem Moment von Rechts wegen her zu wenn du ein gebrauchtes Fahrzeug von einem Händler kaufst.
Sollte er dem nicht nachkommen würde ich einen Anwalt zu rate ziehen.